二、热学核心知识点

（一）宏观热力学基础

1. 基本概念

• 系统与外界：研究对象为系统，系统外相互作用的环境为外界。

• 系统分类：

  • 孤立系统：无粒子、能量（热/功）交换。
  • 绝热系统：无粒子、热交换，可做功交换。
  • 封闭系统：无粒子交换，可进行能量（热/功）交换。
  • 开放系统：可进行粒子、能量交换。

• 平衡态与稳定态：

  • 平衡态：内部无宏观粒子和能量流动（含力学、热、相、化学平衡）。
  • 稳定态：宏观粒子和能量流动状态不变。

• 热力学参量：

  • 状态量：由初末态决定（有全微分），分强度量（$T$、$p$、$\rho$）和广延量（$\nu$、$M$、$V$、$U$、$H$、$S$）。
  • 过程量：由过程决定（无全微分），如功$W$、热量$Q$。
  • 微观量：粒子属性（$n$、$v$、$\epsilon$、$m$）；宏观量：系统统计属性（如温度、压强）。

2. 热力学四大定律（核心考点）

• 热力学第零定律：A与B平衡、B与C平衡，则A与C平衡 → 定义温度$T$（平衡系统的共同物理量）。

  • 温标：热力学温标（不依赖测温物质，$0K=-273.15℃$，$\Delta T=\Delta t$）。
  • 理想气体状态方程：$pV=\nu RT$（低压适用，混合气体同样成立）。

• 热力学第一定律：能量守恒与转换，表达式 $Q=\Delta E+A$（注意符号规则）。

  • 内能：质心系下绝热做功改变的状态量，理想气体内能 $E=C_VT$。
  • 体积功：$\Delta A=p\Delta V$（正负需手动调整）。
  • 热容关系：迈耶公式 $C_{p,M}-C_{V,M}=R$。

• 热力学第二定律（高频考点）：

  • 克劳修斯表述：热量不能自动从低温物体传向高温物体。

  • 开尔文表述：唯一效果是热全部转化为功的过程永不存在。

  • 核心推论：

    • 卡诺定理：可逆热机效率 $\eta=1-\frac{T_2}{T_1}$（大于任何不可逆热机）。
    • 克劳修斯不等式：$\oint \frac{dQ}{T} \leq 0$（可逆取等）。
    • 熵增原理：绝热系统熵不减（不可逆过程熵增），熵变定义 $\Delta S \geq \frac{\Delta Q}{T}$（可逆取等）。

  • 熵变计算（重点）：

    • 等温过程：$\Delta S_T=\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}=-\nu R\ln\frac{p_2}{p_1}$。
    • 恒定热容过程：$\Delta S=C\ln\frac{T_2}{T_1}$。
    • 任意过程：构造等温+定体/恒压过程叠加计算。

• 热力学第三定律：绝对零度（$T=0$）无法达到，此时$U=0$、$S=0$。

3. 热力学过程与循环

• 准静态过程：任意时刻系统无限接近平衡态，可定义状态参量（弛豫时间$\tau=\frac{l}{\bar{v}} \ll T$）。
• 可逆过程：无耗散的准静态过程，熵不变，可绘于$p-V$/$T-S$等图中。
• 常见可逆过程对比（理想气体） ：

• 循环过程：

  • 正循环（热机）：顺时针运行，高温吸热、低温放热、对外做功，效率$\boxed{\eta=\frac{A}{Q_{inhale}}=1-\frac{Q_{exhale}}{Q_{inhale}}}$。
  • 逆循环（制冷机）：逆时针运行，外界做功、低温吸热、高温放热，制冷系数$\boxed{\omega=\frac{Q_{in}}{A}}$。
  • 可逆卡诺循环：仅含等温+绝热过程，效率$\eta=1-\frac{T_C}{T_H}$，制冷系数$\omega=\frac{T_C}{T_H-T_C}$。

（二）分子动理论

1. 统计基础

• 相空间：分子位置-动量的六维空间，遵循经典力学规律。
• 统计假设：无外场平衡态下分子运动各向同性，速度分布均匀。
• 关键关系：$nV=N=N_A\nu$、$M=N_Am$、$R=N_Ak$（$N_A$为阿伏伽德罗常数，$k$为玻尔兹曼常数）。

2. 理想气体的宏观微观联系

• 压强微观表达式：$\boxed{p=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}}$。

• 温度与分子动能：$\boxed{\overline{\epsilon_k}=\frac{3}{2}kT}$（温度正比于分子平均平动动能）。

• 分子碰撞相关：

  • 碰撞截面：$\sigma=\pi d^2$。
  • 平均相对速率：$\bar{u}=\sqrt{2}\bar{v}$。
  • 平均碰撞频率：$\bar{z}=\sqrt{2}\pi d^2\bar{v}n$。
  • 平均自由程：$\boxed{\bar{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}}$。

3. 自由度与能均分定理

• 自由度分类：平动（$t$）、转动（$r$）、振动（$v$），总自由度$i=t+r+v$（常温下振动自由度冻结）。

• 能均分定理：温度为$T$时，每个自由度的平均动能为$\frac{kT}{2}$，分子平均动能$\overline{\epsilon_k}=\frac{ikT}{2}$。
• 内能与热容：$E=\frac{i}{2}\nu RT$、$C_V = \frac{i}{2}\nu R$、$C_p = (\frac{i}{2}+1)\nu R$。

4. 速率分布与熵的微观定义

• 麦克斯韦速率分布律：

  • 速率分布概率密度：$\boxed{f(v)=4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv2}{2kT}}}$（归一化条件$\int_0^{+\infty}f(v)dv=1$）。

  • 三种特征速率：

    • 最概然速率：$\boxed{v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}}$。
    • 平均速率：$\boxed{\bar{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}}$。
    • 方均根速率：$\boxed{\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}}$。

• 玻尔兹曼熵公式：$\boxed{S=k\ln\Omega}$（$\Omega$为宏观态对应的微观状态数，平衡态时$\Omega$最大）。

三、光学核心知识点

（一）波动光学基础

1. 基本描述

• 傍轴近似：$\theta\approx\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{r}{l}$，简化几何计算。

• 关键参量：

  • 折射率：$n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r}$。
  • 光速：$\boxed{c=\frac{c_0}{n}=\lambda f=\frac{\omega}{k}}$。
  • 角频率$\omega=2\pi f$，角波数$k=\frac{2\pi}{\lambda}$，光强$I\propto E_{max}^2$。

• 光程与半波损失（高频考点）：

  • 光程：$\boxed{l=nr_{real}}$（将相位变化转化为长度计算）。
  • 半波损失：光疏→光密介质表面反射时，相位突变$\pi$（等效光程差增加$\frac{\lambda}{2}$），透射无半波损失。

2. 核心原理

• 费马原理：光路为光程极值路径（透镜不附加光程差）。
• 惠更斯-菲涅尔原理：波前子波源相干叠加决定光场强度。
• 巴比涅原理：互补屏（除光点外）的衍射条纹相同。

（二）光的干涉

1. 相干条件与叠加规律

• 相干条件：振动方向相同、频率相同、相位差恒定。

• 相干叠加：$\boxed{I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\phi}$。

  • 相长干涉（亮纹）：$\Delta\phi=2k\pi$，光程差$l=k\lambda$（$k\in\mathbb{N}$）。
  • 相消干涉（暗纹）：$\Delta\phi=(2k-1)\pi$，光程差$l=(k-\frac{1}{2})\lambda$。

• 衬比度：$V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$（$I_1=I_2$时$V=1$，对比度最高）。

2. 分波阵面干涉（杨氏双缝为代表）

• 明纹中心：$\boxed{x=k\frac{D\lambda}{d}}$。
• 暗纹中心：$\boxed{x=(k+\frac{1}{2})\frac{D\lambda}{d}}$。
• 条纹间距：$\boxed{\Delta x=\frac{D\lambda}{d}}$（$D$为屏到缝距离，$d$为缝间距）。

3. 薄膜干涉

• 光程差公式：$\boxed{\delta=2e\sqrt{n_e^2 - n_0^2 \sin^2 i}}$（$e$为膜厚，$i$为入射角）。

• 等厚干涉（$i=0$，正入射）：

  • 干涉条件：

    • 明纹：$2\mathrm{n}h+\frac{\lambda}{2}=k\lambda, k=1,2,3,…$
    • 暗纹：$2\mathrm{n}h+\frac{\lambda}{2}=(k+1/2)\lambda, k=0,1,2,…$

  • 条纹间距：$L=\frac{\lambda}{2n\theta}$。

  • 牛顿环：有半波损失，中心为暗纹，条纹级次随半径增大而升高。

• 等倾干涉（$e$恒定）：同一入射角光线干涉，中心点级次最高，膜厚增大时条纹外扩。

4. 光场的相干性

• 时间相干性：由光源非单色性导致，相干长度$\boxed{\delta_m=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}}$（最大允许光程差）。
• 空间相干性：由光源宽度导致，相干间隔$\boxed{d_m=\frac{R\lambda}{b}}$（最大缝间距，$b$为光源宽度）。

（三）光的衍射

1. 衍射分类

• 近场（菲涅尔）衍射：光源/观测点距障碍有限远，图案与距离相关。
• 远场（夫琅禾费）衍射：光源/观测点均为无穷远（平行光），为课程核心研究对象。

2. 夫琅禾费单缝衍射

• 半波带法求解（重点）：

  • 中央明纹：$a\sin\theta=0$。
  • 暗纹：$\boxed{a\sin\theta=k\lambda}$（$k=\pm1,\pm2,…$）。
  • 明纹（近似）：$a\sin\theta=(k+\frac{1}{2})\lambda$。

• 条纹宽度：

  • 中央角宽度：$\Delta\theta_0=2\frac{\lambda}{a}$。
  • 中央线宽度：$\boxed{\Delta x_0=2f\frac{\lambda}{a}}$（$f$为焦距/屏距）。

• 衍射反比律：$a\Delta x_0\approx2f\lambda$（缝宽$a$越小，条纹越宽）。

3. 光栅衍射（核心考点）

• 光栅常数：$\boxed{d=a+b}$（$a$为通光宽度，$b$为挡光宽度）。

• 光栅方程（主极大条件）：$\boxed{d\sin\theta=k\lambda}$（$k$为级次）。

• 关键特性：

  • 主极大半角宽：$\Delta\theta=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k}$（$N$为缝数，$N$越大峰越锐）。
  • 暗纹条件：$d\sin\theta=\frac{k}{N}\lambda$（$k\neq k’N$），相邻主极大间有$N-1$个暗纹、$N-2$个次极大。
  • 缺级现象：当$k=\pm\frac{d}{a}k’$时，$k$级主极大缺级（单缝衍射调制导致）。

4. 夫琅禾费圆孔衍射与瑞利判据

• 艾里斑半角宽：$\boxed{D\sin\theta_1\approx1.22\lambda}$（$D$为圆孔直径）。
• 瑞利判据：两物点可分辨的最小角间距$\boxed{\theta_{min}\approx1.22\frac{\lambda}{D}}$。
• 分辨本领：$R=\theta_{min}^{-1}\approx\frac{D}{1.22\lambda}$（$D$越大、$\lambda$越小，分辨本领越强）。

四、典型例题（精选）

热学例题

1. 绝热容器中的氦气：20L绝热容器装100g氦气，以200m/s定向运动后停止平衡，求温度、压强、内能及平均分子动能的变化。（提示：定向动能转化为内能，$E=\frac{3}{2}\nu RT$）。
2. 循环放热问题：冰水混合物中气缸内氮气经历“压缩→冷却→膨胀”循环，100次循环放热可融化多少冰？（冰的熔化热$3.35 \times 10^5 \text{ J/kg}$，提示：循环过程$\Delta U = 0$, $Q = A$）。

光学例题

1. 双缝干涉：波长$550\text{ nm}$的光垂直入射双缝（$d=0.2\text{ mm}$，$D=2\text{ m}$），求（1）两个十级亮条纹间距；（2）一缝填充厚$6.6\mu\text{m}$、$n=1.58$的薄膜后，零级亮纹偏移位置。（提示：薄膜引入附加光程差$(n-1)e$）。
2. 光栅衍射：波长$600\text{ nm}$的光入射光栅，第二级主极大出现在$30°$，求（1）光栅常数；（2）第三级缺级时的缝宽；（3）屏上可见的主极大级次。（提示：结合光栅方程和缺级条件$k=\frac{d}{a}k’$）。

熵变计算

绝热过程：$\boxed{TV^{\gamma-1}=\text{常数}}$ $A=\frac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}$

迈克尔孙干涉仪

五、注意

• 在解决薄膜干涉的时候，需要理清楚光程差的关系，有的时候是2nh+λ/2，但也可能不是。取决于两个光是否存在半波损失